אלישע נולד ביום י”ג באדר תרפ”ג, 1 במרץ 1923 בטיפליס שבברית המועצות לאליהו ולשולמית (אינז) ולו שני אחים ושלוש אחיות. בהיותו בן שנה עלו הוריו ארצה והתיישבו בירושלים. בשנת 1933 עברו לתל אביב וגרו בגבול יפו. בפרוץ מאורעות תרצ”ו עברו לשכונת שפירא. אלישע למד בתלמוד תורה והשתלם גם בשיעורי ערב. כדי לסייע למשפחה, עבד כפועל חקלאי. כנער גוייס למפלגה הקומוניסטית, אך משעמד על כך שמפלגה זו שוללת את הציונות, פרש ממנה.

בשנת 1943 נשא לאשה את רבקה ונולד להם בן – יעקב. אולם הזוג נפרד והילד, שחי עם אמו, לא הכיר את אביו. בשנת 1945 הצטרף אלישע ללח”י, עבר סידרת אמונים והשתתף בפעולות. אחת הפעולות המרשימות והחשובות היתה: פיצוץ בניין ‘הסראיה’ בככר השעון ביפו ביום 4 בינואר 1948, בו שכנה מפקדת הכנופיות. עם חברו לנשק, רחמים חכמוב, שניהם מחופשים לערבים ומצויידים בתיעוד מתאים, עברו את מחסומי הביקורת, נכנסו ליפו, והעמידו משאית טעונה בחומרי נפץ ליד המפקדה. חשדו בהם, ירו ורדפו אחריהם, אך הם הצליחו להגיע בשלום לתל אביב. הבניין נהרס כליל וקבר תחתיו כשבעים פורעים ומנהיגיהם. פעולה זו גרמה לדמורליזציה בקרב תושבי יפו.

לאחר המבצע שוב יצא אלישע למשימה קשה ומסוכנת ביום כ”ו באדר א’ תש”ח, 7 במרץ 1948, כשהוא נוהג משאית נפץ לאזור שכם, כדי לפוצץ את מפקדתו של פאוזי קאוקג’י, מפקד ‘צבא ההצלה הערבי’. מחופש לערבי ומלוּוה בסוכן ערבי של המחתרת, שהיה אמור להנחותו אל בניין המפקדה, הוא נעצר באחד המחסומים, נחשד (ואולי הערבי בגד בו), נחקר, עונה והוצא להורג. המחתרת חטפה נכבדים ערבים משייח מוניס כבני ערובה במגמה להחליפם באלישע, אך לשווא. לצורך פירוק המטען הובאו שני מומחים בריטיים לחומרי נפץ (סטיבנסון והיט, שהיו אחראים לפיצוץ ברחוב בן יהודה בירושלים). המשאית התפוצצה והם נהרגו, ועמם עוד שני בריטים וכמה ערבים.

בני משפחתו של אלישע לא נחו ולא שקטו עד אשר הצליחו, בעזרתו של הרב הראשי לצה”ל, שלמה גורן, לגלות את גופתו של אלישע ולהביאה לקבר ישראל. הוא נטמן בכ’ בתשרי תשי”א, 1 באוקטובר 1950 בחלקה הצבאית בנחלת יצחק.

לבנו יעקב שלושה ילדים והבכור נושא את שם סבו, אלישע.