אברהם נולד בירושלים בשנת 1903 לאביו שלום דוד, רב ומנהיג רוחני בשכונתו, ולאִמו שמחה. הם התגוררו בשכונת “סאלם” (בית שלום), המהווה חלק משכונת בית־ישראל המאוכלסת ביהודים יוצאי תימן. כדבר יוצא דופן ליהודי תימן, אברהם היה ג’ינג’י וכך קראו לו כולם. אביו חינך אותו לתורה ולאהבת עם ישראל, ואכן, אברהם היה בן נאמן, נלהב ומסור לקודשי האומה. הוא האמין באמונה שלמה בבוא המשיח. אביו הכשיר אותו להיות סופר סת”ם ואברהם עסק בכתיבת ספרי תורה, מזוזות ותפילין. לימים התמנה לגבאי בית הכנסת של השכונה, היה חזן, ואף עבד כשמש בית־הכנסת.
באופן טבעי הצטרף אברהם לשורות לח”י וקיבל את הכינוי “הִלל”. תמיד לבש גלימה ארוכה, מעין “גלבייה”, ועם זקנו בעל המידות ופאותיו הארוכות והמסולסלות, למרות שהיה עדיין אדם צעיר, זכה בפי חברי לח”י לכינוי “הִלל הזקן”. לא נדרש ממנו לצאת מביתו, שהיה צמוד לבית־הכנסת. דווקא בשִבתו בבית הביא למחתרת תועלת שלא תסולא בפז. הוא העמיד את ביתו ואת בית־הכנסת לרשות המחתרת. המקום היה פתוח ביום ובלילה ואברהם היה תמיד ער ומוכן לסייע. בעליית הגג של בית־הכנסת התקין מחסן לנשק, תחמושת וחומרי נפץ. חברי לח”י היו נכנסים ויוצאים כל אימת שנדרש נשק לפעולה כלשהי. אברהם היה מטפס בזריזות לעליית הגג, מעלה ומוריד את “החבילות” הדרושות.
לא אחת נעשו ההכנות למבצע בביתו ומתוכו יצאו הלוחמים לפעולה. אליו גם שבו להחזיר את הציוד והנשק לאחר הפעולה. לפעמים העביר נשק ממקום למקום ללא חשש מחיפושים ומעצר. “לא יכול לקרות לי שום דבר”, נהג לומר. כאשר הובעו חששות באשר לנשק המאוחסן בעליית בית־הכנסת, היה אברהם מרגיע את הבחורים ואומר: “כאן יש השגחה עליונה. אל לכם לחשוש. לא יכול לקרות כאן שום דבר.” ואכן כך היה עד קום המדינה.
אברהם נשא לאִשה את שמחה ונולדו להם שני בנים ושלוש בנות. הוא גייס לשורות לח”י מבני משפחתו ומכרים מהשכונה. חינך את ילדיו ללכת בדרכו. בנו אביאסף (עוזי), חבר לח”י פעיל, נהרג באסון התפוצצות במחנה דרור של המחתרת בטלביה.
גורלו של אברהם היה גם הוא טראגי: ביום ח’ באב תשכ”ב, 8 באוגוסט 1962 נפגע על־ידי אופנוע בלכתו בכביש, ליד מקווה־ישראל, ונהרג. בן 60 היה במותו. הובא למנוחות בבית העלמין בהר המנוחות, ירושלים.