שלמה נולד בקהיר ביום ג’ בכסלו תרס”ה, 11 בנובמבר 1904, לאביו יצחק, בן למשפחת יוסף צנוע־אבו, שהיה העיתונאי היהודי הראשון במצרים ובשנת 1882 יסד את המפלגה הלאומית המצרית במטרה להלחם בבריטניה, לשחרור מצרים.
אדמונד למד בבתי־ספר צרפתים ואנגלים ובאוניברסיטה המצרית. בד־בבד קיבל גם חינוך מסורתי ולאומי וכן למד עברית.
בשנים 1922–1934 היה ממקימי ופעילי “מכבי הצעיר” בקהיר וממארגני “ההתאחדות העולמית של הצעירים העברים”. בשנים 1933 ו־1934 היה מזכיר “בני ברית” בקהיר. פעל נגד התעמולה האנטישמית, הגרמנית, במצרים. בזמן מלחמת העולם השניה והיה פעיל לטובת קרן הקיימת וקרן היסוד. כל אותו זמן פירסם מאמרים בעיתונות היהודית במצרים וכן בעיתונים צרפתים ואנגלים במצרים ובארצות־הברית.
בשנים 1928–1934 היה ממארגני המפלגה הרוויזיוניסטית ותנועת בית”ר בקהיר. הכנס הראשון של המפלגה הרוויזיוניסטית נערך בבית הוריו. פעל שנים רבות למען העלייה הבלתי לגלית של יהודי מצרים לאירופה, ומשם, דרך הים והיבשה, לארץ ישראל. השתתף בהתיישבות העולים ממצרים בגוש עציון ובקיבוצים אחרים.
באפריל 1934 עלה שלמה לארץ, בשנת 1935 נשא לאִשה את רבקה לבית חסידוף, שנפטרה בשנת 1949. נולדו להם שתי בנות. בשנת 1950 נישא בשנית למרגלית לבית גדליה.
עם הגיעו ארצה, הביא עִמו המחאות בנקאיות על סך 5,000 לירות מצריות, סכום עצום באותם ימים – תרומת בני ברית בקהיר לישוב העברי בארץ. הסכומים נתרמו לכפר ידידיה, אשר רבים מתושביו היו עולים ממצרים. המחאה שניה – לסמינר למורים על שם דוד ילין. המחאה שלישית נמסרה לעזרת אזרחי טבריה, שנפגעו באותה שנה משיטפונות קשים. לפרנסתו היה פקיד בכיר בחברת הנפט “של” בתל־אביב.
עם עלותו ארצה התגייס להגנה. מסיבות אידיאולוגיות פרש. יחד עם דוד רזיאל ויאיר שטרן הקימו את ארגון הגנה ב’, שהפך בשנת 1936 לאצ”ל ובשנת 1942 פרש מהאצ”ל ועבר ללח”י. ניצל את מקום עבודתו להשגת מידע נחוץ ללח”י, וכשנפלה ההחלטה להתנקש בחייו של הלורד מוין, לקח חלק פעיל בארגון הפעולה, בתדרוך שני המתנדבים לביצועה – אליהו חכים ואליהו בית צורי.
שלמה נפטר בתל־אביב ביום י”ח בתשרי תשמ”ח, 11 באוקטובר 1987 והובא למנוחות בבית העלמין בחולון.
