יהושע נולד ביום כ”ה באב תרצ”א, 8 באוגוסט 1931 בירושלים בשכונת “משכנות שאננים” למשפחה ממוצא ספרדי המתגוררת בארץ 13 דורות. אביו שֵׁמוֹ מצא, עסק במסחר בבדים, ואִמו יונה לבית פרנס. במשפחה היו ארבעה אחים, שברבות הימים היו כולם לחברים במחתרות השונות. הצטרף מגיל צעיר מאד לתנועת בית”ר ולמכבי הצעיר.
בהיותו בן 13 בלבד, בעודו תלמיד בבית־הספר אליאנס, התגייס ללוחמי חרות ישראל. בתחילה עסק במה שהיה קרוי באותם ימים בעגת הנערים בלח”י: “עיתונאות”, דהיינו, הדבקת כרוזים והפצת חומר הסברה. כשבגר מעט, קיבל הדרכה בנשק קל ובשימוש באקדחים בקורס שהתקיים בבית־כנסת בשכונת הבוכרים, והחל להשתתף בפעולות לחימה.
עם תחילת מלחמת השחרור היה מגויס במחנות לח”י בירושלים, מחנה דרור ומחנה אלדד, והשתתף בקרבות ההגנה והכיבוש בעיר, כגון פריצת החומות בשער החדש, הקרב על נוטר־דאם (“גג המוות”) וכיבוש דיר־יאסין. לאחר ההתנקשות ברוזן ברנדוט ופירוק לח”י, התגייס לצה”ל והוצב לחיל התותחנים. השתחרר מהצבא בדרגת סרן.
לאחר שחרורו, השלים השכלתו, למד ראיית חשבון, והיה למבקר חשבונות. היה חבר תנועת החרות מימיה הראשונים, חבר מרכז ופעיל במוסדותיה, ובהמשך, כעבור מספר שנים, החל בפעילות פוליטית במישור המוניציפלי. היה חבר מועצת עיריית ירושלים משנת 1965 עד 1981 ומ”מ וסגן ראש עירייה משנת 1969 ועד 1979. באותה תקופה שימש גם כיו”ר פעיל במועצת המנהלים של החברה הממשלתית “שיכון ופיתוח”.
בשנת 1984 נבחר לראשונה לכנסת מטעם הליכוד. מאז מילא תפקידים ממלכתיים מגוונים בשליחות התנועה. היה חבר בוועדת הכספים של הכנסת, בוועדה לענייני ביקורת המדינה, בוועדת הפנים ואיכות הסביבה, בוועדת החוץ והביטחון ובוועדת הכלכלה. במשך שלוש קדנציות שימש כיושב ראש משלחת ישראל באיגוד הבין־פרלמנטרי ובמשך ארבע קדנציות כחבר מועצת אותו איגוד. בשנת 1996 נתמנה שר הבריאות בממשלת ישראל, תפקיד אותו מילא עד נפילת ממשלת הליכוד בשנת 1999. היה ח”כ פעיל.
בשנת 1963 נשא יהושע לאִשה את רחל לבית פסכה אבן עזרא, מדריכת תיירים במקצועה, שמשפחתה נמצאת בארץ זה הדור העשירי. נולדו להם שלוש בנות ובן: אסתר, סיגלית, אילה ואמיר. התגורר עם משפחתו בירושלים.
יהושע נפטר ביום ט”ו בטבת תשפ”א, 30 בדצמבר 2020 והובא למנוחות בבית העלמין בהר המנוחות, ירושלים.
