אריה נולד ביום כ”א בתמוז תרפ”ח, 9 ביולי 1928 בפשמישל שבפולין להוריו הרב מנחם מנדל הגר והרבנית שפרינצה מירל (לבית רוקח). התגורר בעיר סוסנוביץ, שם למד בבית הספר העממי העברי “מזרחי”, ובשעות אחר הצהרים בחדר. בסוף 1939 הוגלה על ידי השלטונות הסובייטים לסיביר יחד עם כל משפחתו. עם הקמת צבא אנדרס, שוחררו והתיישבו בעיר צ’רדז’ו שבטורקמניה. כל אותה עת לא למד במסגרת בית ספר, אלא באופן פרטי בלבד, עם אביו ומורים שונים, גולים אף הם. בשנת 1942 עלתה המשפחה ארצה דרך טהרן. כאן חידש את לימודיו הסדירים בתל אביב, בישיבת הרב עמיאל וסיים לימודי בגרות בגימנסיה “גורדון”.

את דרכו במחתרת החל מאז עלותו ארצה. קודם הצטרף לאצ”ל ואחר כך ללח”י. במקביל לחברותו במחתרת, היה גם מדריך ב”ברית החשמונאים”. בלח”י היה בתאי הנוער ועסק בהפצת חומר ובמעקבים. כן השתתף בקורסים ללוחמים בשייח מוניס ובפרדס חנה. בשנת 1945 נשלח על ידי “ברית החשמונאים” לקיבוץ בית יהושע שבשרון, ותוך כדי עבודתו שם, המשיך בפעילותו בלח”י.

בתקופת העוצר, הפיץ יחד עם חברים נוספים כרוזים של לח”י בבית יהושע, נתניה ויישובים אחרים בסביבה, כשהם עוברים ממקום למקום ברגל, בין השדות והחולות. את אשתו, שרה לבית לבקוביץ’, הכיר עוד ב”ברית החשמונאים”. חברותם נמשכה גם כששרה הצטרפה (בכינוי “דבורה”) ללח”י, ובשנת תש”ח נישאו השניים.

לאחר קום המדינה, ניהל אריה בית ספר לנוער עבריין בכפר עבודה, בגוש תל מונד, ואף שימש שם כמא”ז. לאחר מכן התגייס לצה”ל, ותוך כדי שירותו סיים את חוק לימודיו בבית הספר למשפט ולכלכלה בתל אביב, ובשנת 1956 הוסמך כעורך דין. מילא תפקידים שונים במערכת המשפט של צה”ל, כגון: שופט ואב בית דין בבתי דין צבאיים, קצין ניהול, ורשם ראשי בבית הדין הצבאי העליון לערעורים. בשנת 1964 שוחרר משרות קבע, אולם המשיך במילואים בתפקידי שיפוט שונים. שוחרר מצה”ל בדרגת סגן אלוף.

לאחר שחרורו משירות קבע, עבד בתחילה כעורך דין במשרד פרטי, וב־1968 מונה לתפקיד סגן מנהל בתי המשפט, בדרגת שופט בית משפט שלום, שופט שלום ראשי ושופט בית משפט מחוזי. בשנת 1984 מונה למנהל בתי המשפט, במעמד של שופט בית המשפט העליון ובדרגת סגן נשיא בית משפט מחוזי. לאחר כהונה של כשנה כסגן נשיא בית המשפט המחוזי בירושלים פרש לג מלאות בשנת 1990.

עד 1968 התגורר הזוג הגר בתל אביב ולאחר מכן התגוררו בירושלים. להם שלוֹש בנות ונכדים. לאחר פרישתו, הקדיש אריה הגר את זמנו ללימוד בתחומים שונים ומגוונים של מדעי היהדות, במסגרת מכון מרטין בובר שבאוניברסיטה העברית.