אברהם נולד ביום י”א באלול תר”ף, 25 באוגוסט 1920, שנת תר”ף בריגה, לטביה. לאביו, יחזקאל, היתה חנות לייצור ולמכירת נעלים, אִמו הלנה, גידלה את שלושת הבנים, שאברהם היה האמצעי שבהם. הוא למד בבית־ספר אידי. בשנת 1930 הצטרף לתנועת בית”ר. בשנת 1936 נשלח להכשרה ימית על אניית מפרש מסחרית, “תיאודור הרצל”, אשר נרכשה על־ידי יהודי לטביה עבור בית”ר. בשנת 1939, לאחר שהגיע לדרגת “רב־מלחים”, נשלח על־ידי נציבות בית”ר לקונסטנצה שברומניה כדי להצטרף אל אנשי האצ”ל, שארגנו את עלייה ב’, “אף על פי”, לארץ ישראל. הוא עלה על אניית משא, “פריטה”, כשעל סיפונה 860 עולים.
האניה הפליגה לדרכה ביום 12 ביולי 1939. לפי התכנון, אמורים היו העולים לעלות בהמשך המסע אל ספינת מפרש קטנה, אשר היתה אמורה להעלותם על חופי ארץ־ישראל. אך הספינה לא הגיעה. אחרי טלטולים רבים בים, ולאחר שרב־החובל הזר של האניה סירב להשיט את האניה ישר לתל־אביב, השתלטו העולים עליו ועל ציוותוֹ ועצרו אותם. אברשה קיבל את הפיקוד על האניה. ביום 22 באוגוסט 1939 הצליח לפרוץ את ההסגר של הצי הבריטי ולהנחית את האניה בחוף תל־אביב, מול מלון “קטה דן”. הוא הגיע בשחיה אל החוף והגיע ל”מצודת זאב”.
עם הגיעוֹ לארץ, התגייס לפלוגת בית”ר ונשלח לתל־ליטוינסקי. בסוף 1940 התגייס לצבא הבריטי, שירת בפלוגת הנמל ונשלח ללוב וליוון.
באפריל 1941 נפל בשבי הגרמני ביוון. לאחר שלוש וחצי שנים בשבי בגרמניה, ברח. לאחר תלאות רבות, עבר את החזית הרוסית והגיע לארץ באפריל 1945.
הוא הצטרף ללח”י בסוף 1945, בעודו משרת בצבא הבריטי, שם היה אחראי על מחסן נשק במחנה רחובות, אותו תיכנן למסור לידי לח”י. יום לפני ביצוע הפעולה, השתלטו על המחסן יחידות האצ”ל, ובסופו של דבר, התחלקו שני הארגונים בשלל. הוא נעצר מיד לאחר החרמת הנשק, הועבר לכלא עזה, ולאחר־מכן ללטרון, שם שימש בתור ‘סופרוויזר’ חיצוני במגעים עם מפקד המחנה. באוקטובר 1945 שוחרר למעצר בית, נעצר שוב בשנת 1947 והוגלה לקניה. שב לארץ ביולי 1948 עם אחרוני הגולים.
במלחמת העצמאות שירת בחיל־הים. עם שחרורו, היה מנהל המשק של נמל תל־אביב, מינהלן בבית־חולים אסותא ומנהל מכירות בחברת הנדסה כללית.
בשנת 1946 נשא אברשה לאִשה את נעמי פלָצֶר, אף היא חברה בלח”י. לזוג שני בנים, איקה ואריק, ונכדים. בשנת 1996 פרש לגמלאות.
אברהם נפטר ביום כ”א בתמוז תשס”ו, 7 ביולי 2006 והובא למנוחות בבית העלמין ברשפון.