שאול נולד בביום ז’ אדר א’ תרפ”ד, 12 בפברואר 1924 בבגדד, עיראק, לאביו אברהם ולאִמו לולו. אביו היה סופר סת”ם, אמו עקרת בית שגידלה את ששת ילדיהם ואחיו היה לוחם לח”י משה ברזני – “בן ציון”. המשפחה, שהייתה ציונית, עלתה לארץ־ישראל בשנת 1933 והשתקעה בירושלים. הבית היה לאומי דתי ושאול למד בתלמוד תורה. בגיל 15 הצטרף לאצ”ל בהסכמת הוריו. כיתר הצעירים עבר אמונים, הדביק כרוזים והועסק בשליחויות שונות. לאחר הפילוג באצ”ל, הלך עם אנשי יאיר והפך לוחם לח”י. האחראי עליו, שבתאי לוי, שעל ראשו הוכרז פרס כספי על־ידי השלטונות הבריטים, הסתתר כמה ימים בביתם. כששאול היה צריך לצאת להדבקת כרוזים, היתה אִמו מבשלת עבורו את הדבק. מסיבה לא ברורה לו, נותק עמו הקשר, ושאול בן ה־17 התגייס לצבא הבריטי ביום 3 בינואר 1942 ודווקא אז חודש הקשר. הצבא הציב אותו במצרים ובחופשותיו היה מבריח ארצה נשק מהמחנה, מסתיר אותו בבית הוריו, עד העברתו למחתרת.
בעת שירותו במצרים, נשא לאשה, ביום 2 במאי 1946, את רחל לבית עזוז. ביום 16 ביוני 1946 שוחרר מהצבא, חזר ארצה, השתכן בפתח־תקוה ושב לפעילות במחתרת תחת פיקודו של חגי אשד. עתה, כשיצא להדבקת מודעות אבל ביום השנה להירצחו של יאיר, אשתו רחל היא שבישלה את הדבק. היא אף יצאה עִמו להדבקה כשומרת־מתריעה. באחת ההדבקות נעצרו שאול וחברו על־ידי שוטרים בריטים, נשלחו לבית־הסוהר ביפו, ומשם הועברו למחנה המעצר בלטרון. במחנה השתתף שאול בחפירת מנהרה כדי לברוח, אך היא התגלתה על־ידי שלטונות המחנה בעקבות הלשנה.
סמוך ליציאת הבריטים מהארץ, הועברו האסירים והעצורים למחנה עתלית, משם הוא השתחרר ביום 19 במאי 1948 שאול התגייס לצה”ל ושרת בחיל הים, ממנו השתחרר ביום 30 ביוני 1950. מאז עבד בעבודות רבות ושונות, בין היתר במחצבה, בדואר, בקידוחי מים של ת.ה.ל. ובחיל ההנדסה, כהגאי בנמל אילת, ואפילו עשה ניסיון ללכת להתיישבות חקלאית בניר משה.
הזוג ברזני, תושבי אילת, להם ארבעה ילדים: משה, דליה, מיכל ויחזקאל, ונכדים.
שאול נפטר ביום ט”ו באלול תשפ”ב, 11 בספטמבר 2022 והובא למנוחות בבית העלמין ירקון.
