אליהו נולד להוריו הרב עזרא קורח והרבנית נעמי ביום א’ בתמוז תרצ”ג, 25 ביוני 1933, בשכונת מנשיה בתל־אביב, על גבול יפו. ההורים עלו לארץ־ישראל מצנעא שבתימן בשנת 1930 עם שלושה ילדים. בארץ נולדו להם עוד תִשעה ילדים.
אביו היה רב בבית־הדין הרבני בתל־אביב, אִמו, נוסף על גידול ילדיה וטיפול בביתה, עסקה בצרכי ציבור. סבו, הרב חיים קורח, היה הרב הראשי של יהודי תימן. הייתה לו תעודת הסכמה למינויו, בחתימת 70 רבנים מקומיים. סבו מצד אִמו, הרב יוסף יצחק־הלוי, היה רבה של שכונת נורדיה בתל־אביב. הוריו היו בין 200 המשפחות המייסדות של שכונת התקוה, שהוקמה על־ידי ק.ק.ל. בשנת 1935.
אליהו למד בתלמוד־תורה קלישר והמשיך בתיכון ערב ביל”ו, ביום עבד בבית־דפוס. בגיל 14 היה תקופה קצרה בהנוער־העובד ואף רצה להצטרף ל”הגנה”. כשסיפר על כך לאִמו, נדהם לשמוע מפיה, שעליו להתגייס ללח”י, להצטרף לאחותו ברכה ולאחיו יוסף, כדי למנוע מלחמת אחים בבית. אחותו יצרה קשר ואליהו התגייס ללח”י ביולי 1947.
בתחילה שמע הרצאות רעיוניות, אחר־כך עסק בהדבקת כרוזים, הפצת חומר והעברת ידיעות ממפקדים לחבריהם. כן עסק באימוני נשק ובמעקבים.
לאחר פגישה חשאית עם גאולה כהן, מילא תפקיד של קריין בשידורים המיוחדים לנוער “קול לוחמי חירות ישראל לנוער”. הוא שידר מחדר בבית הוריו של פנחס גינוסר בשדרות רוטשילד בתל־אביב, הייתה זו חוויה מחתרתית מרתקת לנער צעיר כאליהו. השידורים כללו חומר תעמולה, הסברה ותסכיתים מעניינים ונמשכו עד להקמת המדינה. כאשר באחד הימים הופיעה במקום עבודתו אחת הפקידות ופנתה אליו ב”בוקר טוב שמשון”, שְמו בתסכיתים, הבין שהצליחה לזהות את קולו, וביקש ממנה לשמור את הדבר בסוד.
בשנת 1951 התגייס לצה”ל, שירת כסמל קשר בבסיס חיל האוויר. אחרי שחרורו עבד בשנים 1954–1959 בבית דפוס. בשנת 1959 היה מנהל דפוס “הבוקר” במשך שנה. היה פעיל בהסתדרות הציונים הכלליים ובשנת 1959 היה מועמד לכנסת. משנת 1960 עבד ב”התאחדות האיכרים”, היה מנהל המחלקה ליחסי־עבודה, מילא תפקיד של נציג האיכרים במוסדות הממלכתיים.
פרש לגמלאות בשנת 1998. חבר וועדת מל”ח של הוועדה הממלכתית במשרד החקלאות וממשיך בייצוג האיכרים במוסדות הממלכתיים. שימש כחבר הדירקטוריון של בנק לאומי. משנת 1976 משתתף קבוע בוועידות ארגון העבודה הבינלאומי בג’נבה כנציג החקלאים. מאז פרישתו לגמלאות עובד כמזכיר הכללי של בית־הספר החקלאי בפרדס־חנה.
לאליהו שתי בנות ובן.