אבנר נולד בשנת 1929 בעיר צנעא שבתימן. אביו, אברהם בן חיים חוברה, היה נפח. אמו, יונה (חמאמה), עקרת בית. המשפחה עלתה ארצה בהיות אבנר בן שנה והשתקעה בירושלים בשכונת שערי פינה, הגובלת בשכונת מאה שערים.
בגיל 16 הצטרף ללח"י, ולאחר תקופה קצרה נשלח לקורס מרוכז באחד המקומות בשפלה, בצריף בתוך פרדס. כעבוֹר ימים אחדים של אימונים, הותקף בידי הבריטים קורס דומה ברעננה וחלק ממשתתפיו נהרגו. כתוצאה מכך פוזר הקורס בו השתתף אבנר. בין פעולותיו: השתתף במעקבים רבים אחרי אנשים מבוקשים; באחד הלילות השתתף בהתקפה על בלש בריטי, שהיה ידוע באכזריותו כלפי חברי לח"י בעת חקירה. לרוע המזל, הבלש שיצא שיכור מבית קפה ברחוב יפו בירושלים נפצע קשה, ואילו שומר ראשו נהרג. השתתף בהתקפה לילית על הכפר הערבי מלחה.
באחת הפעמים, בעת אימון באקדח, ביום 28 בדצמבר 1947, בגבעה שמעל למנזר בעמק המצלבה, התקרבו לעברם שלושה שוטרים בריטים ושוטר ערבי, אך למזלו, בחורים יהודים שטיילו באזור, ראו את השוטרים ממהרים לעלות לכיוון הקבוצה והזהירו אותם. כך התאפשר למפקד ("עמוס") ולבחורה שהסתירה את האקדח, להימלט. אבנר וחבריו צוּו לעכב את השוטרים. הם לא הצליחו, נתפסו והובלו למשטרת מחנה יהודה. שוטר יהודי שהיה בתחנה פנה אל שוטר ערבי חברו הטוב, ואמר לו כי אחד העצורים הוא בנו, אך היה מאוחר מדי משום שהחקירה כבר החלה, וְהקבוצה נעצרה בחדר המעצר שבתחנה. עוד באותו לילה (כ"ט בנובמבר) נודע לחברי הקבוצה, מפי היומנאי, על הכרזת המדינה, והם שוחררו למחרת בבוקר.
במלחמת השחרור שרת אבנר בחי"מ, בירושלים.
אחרי המלחמה עסק בהוראה. נשא לאשה את נצחיה לבית עיני, הוליד בן, זהר, ובת, נירית. הבן חבר בקיבוץ סופה שבנגב המערבי ולו שלושה ילדים. הבת מתגוררת באריאל.
מאז הקמת המדינה ופירוק תנועות המחתרת, השתתף אבנר במפגשים השונים של יוצאי לח"י.
אבנר נפטר ביום י"ג בתמוז תשס"ו, 9 באוגוסט 2006 והובא למנוחות בבית העלמין בפתח תקווה.