אברהם גפני נולד בווארשה ביום י”ח באייר תרנ”ח, 10 במאי 1898 לאביו ר’ חיים יעקב ויינטל ולאמו צפורה ווגנר, כשישי בין עשרת ילדיהם. האב, יצרן כפתורים וספק בלעדי לצבא הצאר, היה איש אמיד. באחת מנסיעותיו העסקיות, לקח עמו את אברהם בנו. בהיותם בדרך, פרצה מלחמת העולם הראשונה, הדרכים השתבשו והדרך חזרה נחסמה בפניהם.
האב, איש דתי, שנהה אחרי חובבי ציון ושאף לעלות לארץ, החליט לנסוע עם בנו לארץ־ישראל דרך מצרים, לבקר במקומות הקדושים ולאתר חלקת אדמה לרכישה. אברהם, בן ה־15, סרב לחזור לפולין, ואביו שיכן אותו אצל משפחה בירושלים. אברהם עיברת את שמו לגפני ונסע ללמוד הנדסת בניין בבירות, כי בארץ לא היה מוסד מתאים. בתום לימודיו חזר ארצה, נשא לאשה את ג’ניה קרסניצקי, והזוג התיישב בפתח־תקוה, שם נולדה בִתם צפורה. אברהם עבד למחייתו כמורה, כמודד, ובביתו – כמהנדס, אך חלם להיות חקלאי. הוא הצטרף לגרעין יוצאי הולנד וב־1925 יסדו מושבה צפונית לפתח־תקוה, רמתיים, כהצעתו של אברהם. הם בנו בית, הקימו לול ונטעו פרדס.
בסוף שנות העשרים חיסל חיים יעקב את עסקיו ועלה עם כל משפחתו ורכושו ארצה. הם השתקעו בהרצליה, שם קנה קרקעות ונטע פרדסים. אברהם נאבק קשות בניסיונות ההסתדרות ברמתיים להשתלט על שוק העבודה והשירותים. הוא עמד בפני לחצים קשים ובפני פיתויים לעבור למחנה השמאל, עד שפרץ ביניהם עימות קשה. כדי לשמור על עצמאות המתיישבים, פעל רבות להקמת בית־ספר וקופת־חולים נפרדים מזרם העובדים.
במאורעות תרצ”ו–תרצ”ט התנגד לקו ההבלגה של ‘המוסדות’ ובפרוץ מלחמת העולם השניה, התגייס לצבא הבריטי ללא כל תנאים. מכאן, דרכו למחתרת היתה קצרה. כאשר פנה אליו ירחמיאל אהרנסון (‘אלישע’) מטעם לח”י, נענה ברצון והפך לאחד הסייענים החשובים במושבה. בביתו הסתתרו אנשי לח”י ‘מבוקשים’, הוא גייס אוהדים נוספים, השיג צריף ששימש לאימונים, בחצר המשק שלו נחפר מחסן נשק, ובביתו עסקו בהכנת חוברות הדרכה בעזרת ציוד ההנדסה שלו. בִתו הבכירה, צפורה, הצטרפה עד מהרה למחתרת, אחריה – בִתו השניה, מיכל, וגם בנו גיורא, שהיה צעיר מדי, הופעל בתפקידי עזר שונים.
גם לעת זיקנה, נאמן לדעותיו, תרם סכום כסף לקרן המילגות ואת ספרייתו לבית יאיר. לאברהם 11 נכדים.
אברהם נפטר ביום כ”א בכסלו תשמ”ח, 12 בדצמבר 1987 והובא למנוחות בבית העלמין ברמות השבים.