משה נולד ביום ב’ בתמוז תרפ”ו, 14 ביוני 1926 בעיר בגדד בעיראק להוריו אברהם ולולו. בהיותו בן שש, עלתה משפחתו לארץ־ישראל. אחיו היה לוחם לח”י שאול ברזני – “צפניה”. הוא גדל והתחנך בירושלים, ובגלל קשיי הקיום, החל כבר בגיל צעיר לסייע בכלכלת המשפחה. משום־כך נאלץ לנטוש את לימודיו ויצא לעבוד, לפעמים גם הרחק מהבית.

מילדותו התחנך משה באווירה של כמיהה לגאולת העם, ועד מהרה מצא את דרכו לשורות מחתרת חרות ישראל, בה כבר היה חבר אחיו הבכור, שאול. הם זכו לתמיכה מצד הוריהם. במחתרת הועסק משה בהדבקת כרוזים, בהפצת חומר תעמולה, עבר קורסים לנשק והשתתף במיספר פעולות חבלה ומיקוש, ביניהן פיצוץ הרכבת ליד כפר מלחה שמערב ירושלים ביום 22 באוקטובר 1946.

ביום 9 במרץ 1947 בעת שהוטל עוצר חמור על השכונות היהודיות בירושלים, הצליח משה לחמוק מאזור מגוריו הנצור ולהקים קשר עם חבריו. הוטלה עליו משימה להתנקש בחיי מפקד הדיביזיה התשיעית הבריטית, שהיה אמור לעבור במסלול מסויים. משה המתין לו שם עם רימון יד. סיור חיילים הפתיעו והוא נאסר והועמד למשפט צבאי ביום 17 במרץ 1947. לאחר קריאת כתב האישום, כפר משה בסמכות בית־הדין לשפוט אותו והצהיר: “העם העברי רואה בכם אויב ושילטון זר במולדתנו. אנו לוחמי חרות ישראל, לוחמים בכם לשחרור המולדת. במלחמה זו נפלתי בשַׁבִי ואין לכם כל רשות לשפוט אותי. בתליות לא תפחידונו. להשמידנו לא תצליחו. עַמי וכל העמים המשועבדים לכם ילחמו באימפריה שלכם עד חורמה”. גזר הדין שנגזר עליו היה מוות בתליה. אחרי קריאת גזר הדין, קם משה ושר את התקווה. משפחתו ומשפחת מאיר פיינשטיין, איש אצ”ל, חברו לתא, שנידון גם הוא למוות, ניסו לשכנעם לבקש חנינה, אך הם סרבו.

משה ומאיר ביקשו מחבריהם שיעבירו להם שני רימוני־יד, כדי להשליכם על תלייניהם. ואכן הוברחו אליהם בחשאי שני רימונים מוסווים בתוך תפוזים. ואולם מאחר שהרב גולדמן הודיע שיתלווה אליהם ויהיה נוכח בעת תלייתם, שינו את תכניתם, הצמידו את הרימונים בין ליבותיהם, התחבקו ופוצצו את עצמם, ביום ב’ באייר תש”ז, 22 באפריל 1947. בכך מנעו מהבריטים לתלות יהודים בירושלים. תמונתו של משה ברזני מתנוססת על אחד הבולים מסדרת “הרוגי המלכות בדור התקומה”.