חיים נולד בווארשה, פולין, ביום י”ח באדר ב’ תרס”ה, 25 במרץ 1905. בהיותו בן חמש, התייתם מהוריו וגדל בבית דודו המהנדס, שנקרא, גם הוא, חיים בוצ’קו (ועלה גם הוא ארצה). בהיותו נער, הצטרף חיים לבית”ר. כל שאיפתו ושאיפת חבריו בתנועה היתה לעלות בהקדם האפשרי לארץ־ישראל. אולם הדבר לא היה קל כל עיקר מאחר שלבית”ר לא היתה הכשרה מאורגנת, יצא חיים עם קבוצת בית”רים לעבוד בחקלאות במשקים פרטיים, מבלי לבקש שכר עבור עבודתם. רק אוכל קיבלו.
בשנת 1930, והוא צעיר בן 19, הצליח סוף־סוף לקבל סרטיפיקאט באמצעות בית”ר ועלה ארצה באניה איטלקית, מִטריאסט שבאיטליה. בארץ הצטרף לפלוגת עבודה של בית”ר, ‘מנורה’, ששכנה בבנימינה, בה כל החברים היו יוצאי לטביה והוא – ה’פולני’ היחיד. כעבור זמן־מה עבר משם לפלוגת העבודה בראש־פינה, בה עסקו בגידול טבק, וגם ליסוד־המעלה הגיע.
בשנת 1934 הצטרף חיים לארגון הצבאי הלאומי והועסק באימונים ובפעילות שיגרתית. בשנת 1937 צורף לקבוצה שסייעה להוריד מעפילים מאניות אל החוף בסירות, במסגרת העלייה הבלתי לגלית של הארגון.
בשנת 1938 השתתף בפעולת החרמה, שכתוצאה ממנה נאסר, נשפט ונידון לשלוֹש שנות מאסר, אותן ריצה בבית־הסוהר המרכזי בירושלים. שם התוודע אל חברי לח”י, למד מהם את תורת יאיר והצטרף אליהם. לאחר שיחרורו, נשא לאשה את שרה ובשנת 1946 נולדה להם בת, יוספה, לזכר אביו של חיים: יוסף בוצ’קו. אולם נישואיו עלו על שרטון וכעבור זמן התגרש.
בשנת 1950 נשא לאִשה את מאשה לשץ אופלנד, שעלתה מריגה בשנת 1938. חיים החל לעבוד בבניין עם הקבלנים בורשטיין ושפרלינג ויחד ארגנו קבוצות בניין, שחיים ניהל בהצלחה רבה. יחד הקימו חברת קבלנות לבניין – “בר־שקב”. בשנת 1953 נעשה חיים קבלן עצמאי ויסד חברה בשם “חיים בוצ’קו בע”מ – חברה לבניין”. גורלו שפר עליו והוא התעשר.
חיים היה אדם רחב לב ונדבן וסייע לאנשים רבים שנמצאו במצוקה חומרית. בראשית שנות השבעים חלה במחלת דם ונפטר ביום כ”א באלול תשל”ה, 28 באוגוסט 1975 והובא למנוחות בבית העלמין נחלת יצחק.