ששון נולד בשנת 1921 באפגניסטן למשפחה בת 17 אחים ואחיות לאביו יעקב ולאמו לאה. האב היה קצב והאם טיפלה במשפחה מרובת הילדים. המשפחה עלתה ארצה ב־1929, לאחר תלאות רבות ותוך סכנת נפשות, והתיישבה בירושלים. ששון למד מספר שנים בתלמוד תורה וכבר מגיל תשע החל לעבוד.

בשנת 1941 נשא לאשה את מרים לבית רבי, אף היא ילידת אפגניסטן וחברה שותפה במחתרת בשנים שלאחר מכן.

בשנת 1946 הצטרף ששון ללח”י ורעייתו הלכה בעקבותיו.

כעבור זמן לא רב הפך ביתם מקום ריכוז להפצת חומר תעמולה והדבקת כרוזים. הנערים שעסקו בכך היו מקבלים כאן את הדבק ויוצאים לפעולות ההדבקה, שבמיוחד בירושלים היו כרוכות בסיכון רב. חיפושים של המשטרה הבריטית שנערכו בבית לא העלו דבר משום שכל הראיות המרשיעות סולקו בתחבולות רבות תושיה. ששון ורעייתו גם הצליחו לגייס חברים נוספים ללח”י.

בתש”ח,  החל ששון לפעול ביחידה צבאית בירושלים נגד הערבים. הוא השתתף בקרבות, ולאחר ההתנקשות ברוזן ברנדוט נעצר ונכלא בתל ליטוינסקי יחד עם עוד חמישה חברי לח”י. משפחתו לא ידעה במשך חדשים היכן הוא נמצא, והימים הם ימי מלחמת השחרור.

כאמור, ששון החל לעבוד עוד מגיל תשע. כל חייו היה איש עמל ובעל מלאכה שעבד כפחח בחנותו בשכונת הבוכרים. חנות זו היתה מקום מיפגש לאנשי לח”י בתקופת המחתרת וגם לאחר מכן, כשחברים רבים פוקדים אותה כדי להעלות זיכרונות מימים עברו. ששון הקדיש רבות לעזרת חברים, שלא על מנת לקבל תמורה.

לזוג אלון (יזדי) נולדו שמונה ילדים, שאחד מהם נפטר בהיותו תינוק בן יומו. חלק מילדיהם, שלושה בנים וארבע בנות, הם בעלי השכלה גבוהה.

הוא נפטר ביום ב’ באייר תש”ן, 27 באפריל 1990 לאחר מחלה והובא למנוחות בבית העלמין בהר המנוחות, ירושלים.