אבשלום נולד בשנת 1925 בכפר אלפוקה בתימן. אביו היה בעל מסגריה לכלי עבודה חקלאיים, אמו עסקה בגידול ששת ילדי המשפחה. בילדותו למד בחדר. לצרכי ניהול העסק של אביו, נשלח אבשלום ללמוד ערבית. הוא הגיע לכדי שליטה מעולה בשפה זו. בגיל צעיר ביותר הוסמך להיות שוחט ובודק. בן 17 ברח מהבית יחד עם חבר, שלמד אִתו בחדר, במטרה להגיע לארץ ישראל אך לא הצליח. פעמיים נכשלו ניסיונותיו לעלות ארצה. רק בפעם השלישית הצליח לקבל סרטיפיקט והגיע לארץ בספינה מעדן, בשנת 1942.

בשנים 1942–1947 שרת כנוטר במשטרת הישובים העבריים, בקיבוץ איילת השחר, שם פעל יחד עם ה”חוליה” של הפלמ”ח בהברחת עולים מסוריה ומלבנון לארץ. בשנת 1945 היה אלוף הגליל בריצת מרתון. באותה תקופה עסק גם בספורט האגרוף. הוריו לא זכו לעלות לארץ.

בשנת 1947 התגייס אבשלום ללח”י. כינוייו היו: ירמיהו ובר כוכבא. היה אחראי על כמה לוחמים באזור ראשון לציון, נס ציונה ורחובות. שרת במודיעין של לח”י. לְשם כך הוצאה לו תעודת זהות על שם: עלי מוחמד סלמה תושב לוד. הוא התערב באוכלוסייה הערבית, ניהל אתם שיחות. חזותו וידע השפה הערבית עזרו לו להשיג מידע וליצור קשרים נחוצים עם הערבים.

השתתף בפיצוץ רכבת, שהובילה נשק והסיעה חיילים בריטים באזור רחובות; השתתף בפריצה ל”ברקליס בנק” בתל אביב, במטרה להחרים כסף לרכישת נשק ללוחמים; היה נהג ומאבטח בשיירה לירושלים; השתתף בתצפיות; כן פעל כמגייס לוחמים למחתרת.

עם קום המדינה התגייס יחד עם שאר מרבית חברי לח”י לצה”ל, לגדוד 82 בחטיבה 8. השתתף בכל קרבות הגדוד. בכיבוש באר שבע נפצע, נכווה והיה מאושפז כשנה בבית החולים. בשנת 1949 שוחרר מצה”ל. בשנת 1949 נשא לאִשה את ראומה לבית מליח. לזוג שִשה ילדים ו־15 נכדים. בשנת 1957 הצטרף כשחקן ללהקת סמדר, שאומצה על ידי תאטרון “אוהל”. עסק לפרנסתו בהדרכת נוער. עבד בעיריית תל אביב כמנהל “דלת פתוחה לתלונות הציבור”.

כל ימיו עסק בפעילות ציבורית מגוונת. היה בין המייסדים והתורמים להקמת בית כנסת ע”ש אלי כהן ז”ל. היה מזכיר מפלגת העבודה, סניף רמת החייל, בשנים 1962–1972. היה בין המייסדים של האגודה לטיפוח תיעוד ומחקר של יהדות תימן, ועוד. תחביביו היו: קבלה, קריאה בספרות תלמודית ובכתבי קודש, אהב שירה, תאטרון וטיולים בארץ ובעולם.

נפטר ביום ה’ בתשרי תשמ”ט, 16 בספטמבר 1988 והובא למנוחות בבית העלמין קריית שאול בתל אביב.